Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist  ${}a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das

   (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$. Die zweite Gleichheit folgt analog.

3. Nach (2) ist  ${}(-(-a))b=(-a)(-b)$  und wegen  ${}-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5.  Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist  ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$.  Andererseits ist aber nach Voraussetzung  ${}ab=0$  und daher ist nach der Annullationsregel

   ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

    sodass sich der Widerspruch

    ${}0=1$  ergibt.

6. Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage