Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist  $a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$) von $a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$

   nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das

   (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$. Die zweite Gleichheit folgt analog.

3. Nach (2) ist  $(-(-a))b=(-a)(-b)$  und wegen  $-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5.  Nehmen wir an, dass $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente $a^{-1}$ und $b^{-1}$ und daher ist  $(ab)\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=1$.  Andererseits ist aber nach Voraussetzung  $ab=0$  und daher ist nach der Annullationsregel

   $(ab)\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=0\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=0,$

    sodass sich der Widerspruch

    $0=1$  ergibt.

6. Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage