Beweis
Es sei
fixiert. Wir betrachten die endliche Menge
-
![{\displaystyle {}M={\left\{\varphi (x)\mid \varphi \in H\right\}}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5cd0bb1f1774db61d6eb2592968f17f0a2b818)
wobei
sei. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}F:=(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e444a3341bb7383b3fd57d678b3418d5333415c1)
(
).
Es ist
.
Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten
dieses Polynoms zu
gehören. Es sei dazu
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i}=\prod _{i=1}^{n}(X-\varphi (x_{i}))=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d565ed037d95828c5ab709c9be5d60fe0e063916)
Daher ist
.
Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper
und daher ist
.
Dies bedeutet, dass
algebraisch
über
ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad
-
![{\displaystyle {}\leq \operatorname {Grad} _{}^{}{\left(F\right)}=n={\#\left(M\right)}\leq {\#\left(H\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454e6b466266d85925c71dc55f5f47638ea4794e)
besitzt. Da
über
in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von
einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.