Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei fixiert. Wir betrachten die endliche Menge

wobei sei. Wir setzen

(). Es ist . Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten dieses Polynoms zu gehören. Sei dazu . Dann ist

Daher ist . Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper und daher ist . Dies bedeutet, dass algebraisch über ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad

besitzt. Da über in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.

Zur bewiesenen Aussage