Körper/Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Viele wichtige Zahlenbereiche wie ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {R}$ haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl - mit der Ausnahme der Null! - auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Es wird also explizit gefordert, dass ${}1\neq 0$ ist und dass jedes von ${}0$ verschiedene Element eine Einheit ist. Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ und die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ bilden einen Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass ${}\mathbb {Z} /(5)$ ein Körper ist, aber ${}\mathbb {Z} /(12)$ nicht. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von ${}0$ verschiedenen Elemente eine Gruppe (mit der Multiplikation als Verknüpfung) bilden.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring ${}M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.

Beispielsweise ist ${}\mathbb {Q}$ ein Unterkörper von ${}\mathbb {R}$. Wenn ein Unterring ${}R\subseteq K$ in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob ${}R$ mit jedem von null verschiedenen Element ${}x$ auch das Inverse ${}x^{-1}$ (das in ${}K$ existiert) enthält. Bei einem Unterring ${}R\subseteq S$, wobei ${}R$ ein Körper ist, aber ${}S$ nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.