Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A=K[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F\in K[X]$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}F$ und ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.
2. Zu jeder Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ besitzt ${}F$ in ${}L$ nur einfache Nullstellen.
3. Zu jeder Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist ${}A\otimes _{K}L=L[X]/(F)$ reduziert.
4. ${}A=L_{1}\times \cdots \times L_{m}$ ist ein Produkt von Körpern ${}L_{j}$ und die Körpererweiterungen ${}K\subseteq L_{j}$ sind separabel.

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