Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}A=K[X]/(F)$  mit einem normierten Polynom  ${}F\in K[X]$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}F$ und ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.
2. Zu jeder Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  besitzt ${}F$ in ${}L$ nur einfache Nullstellen.
3. Zu jeder Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist  ${}A\otimes _{K}L=L[X]/(F)$  reduziert.
4.  ${}A=L_{1}\times \cdots \times L_{m}$  ist ein Produkt von Körpern ${}L_{j}$ und die Körpererweiterungen  ${}K\subseteq L_{j}$  sind separabel.

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