Beweis
Wir führen Induktion über 
, dabei ist der Induktionsanfang
und auch
klar, da ![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
ein
Hauptidealbereich
ist. Es sei die Aussage also für bewiesen und sei ein maximales Ideal
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {n}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b0f1573efe772fa62a56f11db17dcd1b693493)
gegeben. Es ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36dadf68a3f67d17df57b617c26c6e916e97527)
ein maximales Ideal in ![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96607693c80a38f197b1443eb366df0a6bbef1c3)
. Nach Induktionsvoraussetzung wird 
von Elementen erzeugt, sagen wir
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Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus
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![{\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cde9e954f258436719c59432a96bb19364c87d)
der die Faktorisierung
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![{\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\right)}[X_{n+1}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed12e1fd4d47dc0a1e84e2d772e29e675f623c6)
wobei die Abbildung rechts surjektiv ist. Da in der Mitte ein Hauptidealbereich steht, wird der Kern dieser Abbildung durch ein Element 
erzeugt. Somit ist
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