Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Für einen negativen Exponenten ist nach Definition

wobei das inverse Element zu bezeichnet.

  1. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir und und es ist

    wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation und als negativ annehmen. Dann ist

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

    wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

  2. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist

    wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von gleich ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

    Wenn nichtnegativ und negativ ist, so ist

    Wenn negativ und nichtnegativ ist, so ist

  3. Wir müssen nur den Fall negativ behandeln. Dann ist
Zur gelösten Aufgabe