Körperautomorphismus/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe/Lösung

Es sei

{}F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }=\sum _{\nu }c_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,,

somit ist

{}\varphi (F)=\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,.

Dahe ist ${}P\in V(\varphi (F))$ äquivalent zu

{}\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}}=0\,

und dies ist, wenn man den Automorphismus ${}\varphi ^{-1}$ anwendet, äquivalent zu

{}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}})&=\sum _{\nu }\varphi ^{-1}(\varphi (c_{\nu }))\varphi ^{-1}(a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}})\\&=\sum _{\nu }c_{\nu }(\varphi ^{-1}(a_{1}))^{\nu _{1}}\cdots (\varphi ^{-1}(a_{n}))^{\nu _{n}}\\&=\varphi ^{-1}(0)\\&=0,\end{aligned}}

was gerade ${}\varphi ^{*}(P)\in V(F)$

bedeutet.