Körperautomorphismus/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe/Lösung

Es sei

$F=\sum _{\nu }{c}_{\nu }{X}^{\nu }=\sum _{\nu }{c}_{\nu }{X}_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n},$

somit ist

$\phi (F)=\sum _{\nu }\phi (c_{\nu })X_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n}.$

Dahe ist  $P\in V(\phi (F))$  äquivalent zu

$\sum _{\nu }\phi (c_{\nu })a_1^{{\nu }_1}\cdots a_n^{{\nu }_n}=0$

und dies ist, wenn man den Automorphismus ${\phi }^{-1}$ anwendet, äquivalent zu

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}(\sum _{\nu }\phi (c_{\nu })a_1^{{\nu }_1}\cdots a_n^{{\nu }_n})& =\sum _{\nu }{\phi }^{-1}(\phi (c_{\nu })){\phi }^{-1}(a_1^{{\nu }_1}\cdots a_n^{{\nu }_n})\\ & =\sum _{\nu }{c}_{\nu }({\phi }^{-1}(a_1){)}^{{\nu }_1}\cdots ({\phi }^{-1}(a_n){)}^{{\nu }_n}\\ & ={\phi }^{-1}(0)\\ & =0,\end{array}$

was gerade  ${\phi }^{\ast }(P)\in V(F)$ 

bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe