Körpererweiterung/Algebraisch unabhängig/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ein Polynom ${}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}]$ mit

${}P(g_{1},\ldots ,g_{r},f_{1},\ldots ,f_{s})=0\,$

und müssen zeigen, dass es sich um das Nullpolynom handelt. Wir schreiben in Multiindexschreibweise

${}P=\sum _{\mu ,\nu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }Y^{\nu }=\sum _{\nu }{\left(\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }\right)}Y^{\nu }\,.$

Wenn wir die Variablen ${}X_{i}$ durch ${}f_{i}$ ersetzen, so erhalten wir ein Polynom

${}P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\in K{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\subseteq L[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\,,$

das, wenn man die ${}Y_{j}$ durch ${}g_{j}$ ersetzt, ${}0$ ergibt. Da die ${}g_{j}$ algebraisch unabhängig über ${}L$ sind, folgt, dass ${}P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}$ das Nullpolynom ist. Das bedeutet für jedes ${}\nu$, dass

${}\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }=0\,$

ist. Da die ${}f_{i}$ algebraisch unabhängig über ${}K$ sind, folgt, dass für jedes ${}\nu$ die Polynome ${}\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }$ die Nullpolynome sind. Dies bedeutet ${}a_{\mu \nu }=0$

für alle Paare ${}(\mu ,\nu )$, also ist ${}P$ das Nullpolynom.

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