Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Es seien  $x,y\in M$.  Wir betrachten die von $x$ und $y$ erzeugte $K$-Unteralgebra  $U=K[x,y]$,  die aus allen $K$-Linearkombinationen der $x^i{y}^j$, $i,j\in \mathbb{N}$, besteht. Da sowohl $x$ als auch $y$ algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen $x^n$ und $y^m$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen $x^i{y}^j$, $i<n$, $j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei  $z\ne 0$  algebraisch. Dann ist $K[z]$ nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist  $z^{-1}\in K[z]$  selbst algebraisch.

Zur bewiesenen Aussage