Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $f$ ist algebraisch über $K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^0=1,f^1=f,f^2,f^3,\dots .$

4. Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]$ hat endliche $K$-Dimension.
5. $f$ liegt in einer endlichdimensionalen $K$-Algebra  $M\subseteq L$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen