Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von ${}0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(f)=0$. Sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist

${}P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. ${}(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente ${}c_{i}$ gibt, die nicht alle ${}0$ sind mit ${}\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung ${}P(f)$ für das Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. ${}(2)\Rightarrow (4)$. Sei

${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$

ein normiertes Polynom mit ${}P(f)=0$, also mit

${}c_{n}=1\,.$

Dann kann man umstellen

${}f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$

D.h. ${}f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von ${}f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen ${}f^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken kann. ${}(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. ${}(5)\Rightarrow (3)$. Wenn ${}f$ in einer endlichdimensionalen Algebra ${}M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von ${}f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

Zur bewiesenen Aussage