Körpererweiterung/Erste Beispiele für algebraische Elemente/Beispiel

Bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sind die Elemente ${}a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils ${}X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über ${}K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${}{\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ sind dafür ${}X^{2}-2$, ${}X^{2}+1$, ${}X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise ${}X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${}{\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehören.