Beweis
Wir zeigen, dass die Teilmenge
-
![{\displaystyle {}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec0c5d8a1722f8a4efcca69fe29084b303165ec)
gleich
ist. Da
ein
-Algebrahomomorphismus ist, ist
und nach Voraussetzung ist
. Mit
ist wegen
(und entsprechend für die Multiplikation)
auch
. Ferner ist mit
,
,
wegen
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left(x^{-1}\right)}={\left(\varphi (x)\right)}^{-1}=x^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7043847e9f69ac60782cb5c492a6e3530e06dbb)
auch
. Also ist
ein Unterkörper, der
und
das Körpererzeugendensystem
umfasst und daher ist
.