Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge

${}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,$

gleich ${}L$ ist. Da ${}\varphi$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ist, ist ${}K\subseteq M$ und nach Voraussetzung ist ${}x_{i}\in M$. Mit ${}x,y\in M$ ist wegen ${}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)=x+y$ (und entsprechend für die Multiplikation) auch ${}x+y,xy\in M$. Ferner ist mit ${}x\in M$, ${}x\neq 0$, wegen

${}\varphi {\left(x^{-1}\right)}={\left(\varphi (x)\right)}^{-1}=x^{-1}\,$

auch ${}x^{-1}\in M$. Also ist ${}M$ ein Unterkörper, der ${}K$ und das Körpererzeugendensystem ${}x_{i}$ umfasst und daher ist ${}M=L$.

Zur bewiesenen Aussage