Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge

gleich ist. Da ein -Algebrahomomorphismus ist, ist und nach Voraussetzung ist . Mit ist wegen (und entsprechend für die Multiplikation) auch . Ferner ist mit , , wegen

auch . Also ist ein Unterkörper, der und das Körpererzeugendensystem umfasst und daher ist .