Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und es sei $x_i\in L$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem (als Körper) von $L$ über $K$. Es sei $\phi \in \mathrm{Gal}(L/K)$ mit  $\phi (x_i)=x_i$  für alle $i\in I$.

Dann ist  $\phi =\mathrm{Id}$. 

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen