Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Algebra/Ringautomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$-Körperautomorphismus. Es sei

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra und

${}R_{L}=R\otimes _{K}L\cong L[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die entsprechende ${}L$-Algebra.

1. Zeige, dass durch ${}\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi$ ein Ringautomorphismus auf ${}R_{L}$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein ${}K$-Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein ${}L$-Algebraautomorphismus.
3. Es sei nun ${}L=K[T]/(G)$ und ${}\varphi (T)=P\in K[T]$. Zeige

   ${}R_{L}\cong K[T,X_{1},\ldots ,X_{n}]/(G,{\mathfrak {a}})\,$

   und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu ${}T\mapsto P,X_{i}\mapsto X_{i}$ ist.

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