Körpererweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$-Körperautomorphismus. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, wir bezeichnen

$\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi \colon R_{L}\longrightarrow R_{L}$

einfach mit ${}\varphi$. Zeige

${}\varphi ^{-1}(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})=(X-\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,X-\varphi ^{-1}(a_{n}))\,$

für

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$.

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