Körpererweiterung/Q/Jeder Grad/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}n$ gegeben. Das Polynom ${}X^{n}-2\in \mathbb {Q} [X]$ ist nach dem Lemma von Eisenstein irreduzibel, da die Primzahl ${}2$ alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten teilt und ${}2^{2}$ den konstanten Koeffizienten nicht teilt. Daher ist

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-2)\,$

ein Körper. Der Grad von ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ ist gleich dem Grad des definierenden Polynoms, also gleich ${}n$.

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