Wir betrachten das Polynom , dessen Koeffizienten zu gehören und das in
(und auch in )
keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen
und ,
sodass in die Faktorzerlegung
-
vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element . Wir betrachten die Menge
-
also einen zweidimensionalen -Vektorraum mit den Basiselementen
und ,
wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt ein Körper ist. Für ein von verschiedenes Element ist
-
das
inverse Element,
und dies gehört offenbar wieder zu . Die Zerlegung
gilt ebenfalls in , und durch die Zuordnung gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die
komplexe Konjugation
in .