Wir betrachten das Polynom
, dessen Koeffizienten zu
gehören und das in
(und auch in
)
keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen
und
,
sodass in
die Faktorzerlegung
-

vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element
. Wir betrachten die Menge
-
also einen zweidimensionalen
-Vektorraum mit den Basiselementen
und
,
wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung
festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus
die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt
ein Körper ist. Für ein von
verschiedenes Element
ist
-
das
inverse Element,
und dies gehört offenbar wieder zu
. Die Zerlegung
gilt ebenfalls in
, und durch die Zuordnung
gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die
komplexe Konjugation
in
.