Körpererweiterung/Q/X^2+1/Algebraische Sichtweise/Beispiel

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Wir betrachten das Polynom , dessen Koeffizienten zu gehören und das in (und auch in ) keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen und , so dass in die Faktorzerlegung

vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element . Wir betrachten die Menge

also einen zweidimensionalen -Vektorraum mit den Basiselementen und , wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt ein Körper ist. Für ein von verschiedenes Element ist

das inverse Element, und dies gehört offenbar wieder zu . Die Zerlegung gilt ebenfalls in , und durch die Zuordnung gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die komplexe Konjugation in .