Körpererweiterung/Q/Zwei Quadratwurzeln/Erzeuger/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   ${}{\sqrt {p}}^{2}=p\in \mathbb {Q} \,$

   ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$ eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$, also von ${}L$ verschieden.

2. Es ist

   ${}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}^{2}=p+q+2{\sqrt {pq}}\,.$

   Somit gehört auch ${}{\sqrt {pq}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Das Produkt

   ${}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}{\sqrt {pq}}={\sqrt {p^{2}q}}+{\sqrt {pq^{2}}}=p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\,$

   gehört ebenfalls dazu. Somit gehört auch

   ${}q{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}-{\left(p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(q-p){\sqrt {q}}\,$

   dazu, also auch ${}{\sqrt {q}}$ und ${}{\sqrt {p}}$. Somit ist die erzeugte Algebra gleich ${}L$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.

3. Wegen

   ${}{\sqrt {pq}}^{2}=pq\in \mathbb {Q} \,$

   ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {pq}}]$ eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$, also von ${}L$ verschieden.

4. Es ist

   ${}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}^{2}=p+pq+2p{\sqrt {q}}\,.$

   Somit gehört auch ${}{\sqrt {q}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Somit gehört auch das Produkt

   ${}{\sqrt {q}}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}={\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\,$

   dazu. Somit gehört auch

   ${}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}-{\left({\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(1-q){\sqrt {p}}\,$

   und auch ${}{\sqrt {p}}$ dazu. Also ist die erzeugte Algebra gleich ${}L$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.

Zur gelösten Aufgabe