Körpererweiterung/Q/sqrt(2)+sqrt(5)/Grad und Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten zunächst, dass

$L=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]=(\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}])[{\sqrt {5}}]$

ist. Als eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ist dann ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ algebraisch. Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$

klar. Es ist

$x^{2}=7+2{\sqrt {10}},\,x^{3}=17{\sqrt {2}}+11{\sqrt {5}}.$

Daraus ergibt sich

${\sqrt {2}}={\frac {1}{6}}(x^{3}-11x),$

sodass also ${}{\sqrt {2}}$ und damit auch ${}{\sqrt {5}}$ links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.

Wir betrachten die Körperkette

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]=L.$

Dabei ist die Inklusion links echt, da

${}{\sqrt {2}}$ irrational ist, sodass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre

${\sqrt {5}}=a+b{\sqrt {2}}{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Q} ,$

was zu ${}5=a^{2}+2b^{2}+ab{\sqrt {2}}$ führt. Bei ${}a,b\neq 0$ ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von ${}{\sqrt {2}}$. Bei ${}b=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von ${}{\sqrt {5}}$. Bei ${}a=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von ${}{\sqrt {5/2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {10}}$.

Insgesamt liegt also eine Kette ${}\mathbb {Q} \subset K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subset L$ von quadratischen Körpererweiterungen vor, sodass aufgrund der Gradformel der Grad von ${}\mathbb {Q} \subset L$ gleich ${}4$ ist.

Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von ${}x$ berechnen wir ${}x^{4}$, das ist

${}x^{4}={\left(7+2{\sqrt {10}}\right)}^{2}=89+28{\sqrt {10}}\,.$

Das Minimalpolynom ist gleich

$F=X^{4}-14X^{2}+9.$

Setzt man nämlich ${}x$ ein, so erhält man ${}0$. Da ${}x$ den Körper ${}L$ erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad ${}4$ haben, sodass ${}F$ das Minimalpolynom ist.

Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von ${}x(x^{3}-14x)=-9$ aus. Daher ist das Inverse gleich

${}{\begin{aligned}-{\frac {1}{9}}{\left(x^{3}-14x\right)}&=-{\frac {1}{9}}{\left(17{\sqrt {2}}+11{\sqrt {5}}-14{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)}\right)}\\&=-{\frac {1}{9}}{\left(3{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}\right)}\\&=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe