Körpererweiterung/Reine Wurzel/Matrix/Norm und Spur/Beispiel

Es sei ${}K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer ${}n$-ten Wurzel aus einem Element ${}a\in K$ entstehe. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$. Dann wird ${}\mu _{x}$ bezüglich der ${}K$-Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben. Somit ist die Norm von ${}x$ gleich ${}\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist ${}0$.