Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x$ vorgegeben und seien ${}y$ und ${}y'$ Elemente mit  ${}x+y=0=x+y'$.  Dann gilt

${}y=y+0=y+(x+y')=(y+x)+y'=(x+y)+y'=0+y'=y'\,.$

Insgesamt ist also  ${}y=y'$.  Für den zweiten Teil sei ${}x$ mit  ${}x\neq 0$  vorgegeben. Es seien ${}z$ und ${}z'$ Elemente mit  ${}xz=1=xz'$.  Dann ist

${}z=z1=z(xz')=(zx)z'=1z'=z'\,.$

Also ist  ${}z=z'$. 

Zur bewiesenen Aussage