K-Algebra/Algebraischer Kotangentialraum an K-Punkt/Direkte Derivation/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt eine kanonische Isomorphie $K\to R/𝔪$ zwischen dem Grundkörper und dem Restekörper vor. Die Abbildung ist wohldefiniert, da wegen  $(f-f(P))(P)=0$  die Funktion $f-f(P)$ zum maximalen Ideal gehört. Die $K$-Linearität ist trivial. Die Produktregel folgt aus (im dritten Schritt wird ein Element aus ${𝔪}^2$ addiert)

$\begin{array}{cc}d(fg)& =fg-(fg)(P)\\ & =fg-f(P)g(P)\\ & =fg-f(P)g(P)+(f-f(P))(g-g(P))\\ & =2fg-f\cdot g(P)-g\cdot f(P)\\ & =f(g-g(P))+g(f-f(P))\\ & =fdg+gdf.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage