K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck $◻\alpha \wedge \alpha$ an und erhalten ($L$ steht für dieses modallogische System)

$L⊢◻(◻(◻\alpha \wedge \alpha )\to (◻\alpha \wedge \alpha ))\to ◻(◻\alpha \wedge \alpha ).$

Wegen Fakt  (3) ist

$⊢◻(◻\alpha \wedge \alpha )\to ◻◻\alpha$

und

$⊢◻(◻\alpha \wedge \alpha )\to ◻\alpha .$

Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man

$⊢\alpha \to (◻(◻\alpha \wedge \alpha )\to (◻\alpha \wedge \alpha ))$

und daraus mit Fakt  (1) auch

$⊢◻\alpha \to ◻((◻(◻\alpha \wedge \alpha )\to (◻\alpha \wedge \alpha ))).$

Ein zweifacher Kettenschluss liefert

$L⊢◻\alpha \to ◻◻\alpha .$

Zur bewiesenen Aussage