K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck ${}\Box \alpha \wedge \alpha$ an und erhalten (${}L$ steht für dieses modallogische System)

$L\vdash \Box (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))\rightarrow \Box (\Box \alpha \wedge \alpha ).$

Wegen Fakt  (3) ist

$\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \Box \alpha$

und

$\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \alpha .$

Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man

$\vdash \alpha \rightarrow (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))$

und daraus mit Fakt  (1) auch

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box ((\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))).$

Ein zweifacher Kettenschluss liefert

$L\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$

Zur bewiesenen Aussage