K-Modallogik/S5/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

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Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt

und mit dem euklidischen Axiom gilt

was mit dem Kettenschluss

also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.

Aus (2) folgt (3). Sei die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt

das Möglichkeitsaxiom liefert

und das Transitivitätsaxiom liefert

Der Kettenschluss darauf angewendet liefert

also das Reflexivitätsaxiom.

Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom

ergibt sich mit Fakt  (2)

Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt

Angewendet auf ergibt dies

Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.

Zur bewiesenen Aussage