K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Hinrichtung ergibt sich aus Fakt. Für die Rückrichtung nehmen wir

$\Gamma ⊬\alpha$

an. Dann ist

${\Gamma }^{\prime }=\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$

(aussagenlogisch) nicht widersprüchlich und wir müssen zeigen, dass ${\Gamma }^{\prime }$ durch ein $\Gamma$-modallogisches Modell erfüllbar ist. Wir betrachten dazu das $\Gamma$-universelle modallogische Modell $(U_{\Gamma },R,\nu )$, in dem $\Gamma$ (in jedem Weltpunkt) gilt. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie ${\Gamma }^{\prime }$-Ausdrucksmenge $\tilde{\Gamma }$, die wir als Welt  $W=\tilde{\Gamma }$  in $U_{\Gamma }$ betrachten können. Nach Fakt gilt $W\models \tilde{\Gamma }$, was insbesondere die Gültigkeit von $\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ in $W$ zeigt.

Zur bewiesenen Aussage