K-Spektrum/Abgeschlossene Einbettung/Nicht überall ringsurjektiv/Kegel/Beispiel

Wir betrachten den Standardkegel, der als abgeschlossene Teilmenge

${}V=V(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

gegeben sei. Es sei ${}U=D(X,Z-Y)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die offene Teilmenge mit dem Durchschnitt ${}V\cap U=D(X,Z-Y)$ (in ${}V$), der eine offene Menge in ${}V$ ist. Wir behaupten, dass der zugehörige Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}})$

nicht surjektiv ist. Das liegt daran, dass links einfach der Polynomring in drei Variablen steht (vergleiche Aufgabe). Dagegen ergibt sich aus der Gleichung

${}X^{2}=Z^{2}-Y^{2}=(Z-Y)(Z+Y)\,,$

dass es auf ${}U\cap V$ die algebraische Funktion

${}{\frac {X}{Z-Y}}={\frac {Z+Y}{X}}\,$

gibt, die nicht im Bild der Abbildung liegt, da es keine Funktion auf dem ganzen Kegel ist.