K-Spektrum/Achsenkreuz/Integre und nicht integre Punkte/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

{}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,Y]/(XY)\right)}\,.

Bestimme für jeden Punkt ${}P\in V$ , ob der lokale Ring an ${}P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.