K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Bemerkung

In der Definition ist die vorausgesetzte Stetigkeit überflüssig, da sie aus der lokalen algebraischen Bedingung folgt (siehe Aufgabe).

Ebenso ist die Bedingung ${}D(H)\subseteq U$ nicht wichtig. Wenn es eine Beschreibung für ${}f$ mit ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ mit ${}P\in D(H)$ gibt, so betrachtet man ein ${}H'$ mit ${}P\in D(H')$, ${}D(H')\subseteq U$. Dann kann man zu ${}D(H)\cap D(H')=D(HH')$ übergehen, und dort die Darstellung ${}f=(GH')/(HH')$ betrachten.

Wenn es im Punkt ${}P$ eine Bruchdarstellung für ${}f$ als ${}f=G/H$ gibt, so kann man diese Darstellung für alle Punkte aus ${}D(H)$ verwenden. D.h. ${}f$ ist auf der ganzen offenen Menge ${}D(H)$ algebraisch. Insbesondere muss man nicht mit unendlich vielen verschiedenen Darstellungen arbeiten, sondern man kann sich auf die (endlich vielen) Darstellungen ${}G_{i}/H_{i}$ zu einer Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}D(H_{i})$ beschränken.

Bei ${}K={\mathbb {C} }$ ist eine algebraische Funktion auch stetig bezüglich der metrischen Topologie, und bei ${}R={\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist sie holomorph.