K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Bemerkung

In der Definition ist die Bedingung  ${}D(H)\subseteq U$  nicht wichtig. Wenn es eine Beschreibung für ${}f$ mit  ${}f=G/H$  auf ${}D(H)$ mit  ${}P\in D(H)$  gibt, so betrachtet man ein ${}H'$ mit  ${}P\in D(H')$,   ${}D(H')\subseteq U$.  Dann kann man zu  ${}D(H)\cap D(H')=D(HH')$  übergehen, und dort die Darstellung  ${}f=(GH')/(HH')$  betrachten.

Wenn es im Punkt ${}P$ eine Bruchdarstellung für ${}f$ als  ${}f=G/H$  gibt, so kann man diese Darstellung für alle Punkte aus ${}D(H)$ verwenden. D.h. ${}f$ ist auf der ganzen offenen Menge ${}D(H)$ algebraisch. Insbesondere muss man nicht mit unendlich vielen verschiedenen Darstellungen arbeiten, sondern man kann sich auf die (endlich vielen) Darstellungen ${}G_{i}/H_{i}$ zu einer Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}D(H_{i})$  beschränken.

Bei  ${}K={\mathbb {C} }$  ist eine algebraische Funktion auch stetig bezüglich der metrischen Topologie, und bei  ${}R={\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ist sie holomorph.