K-Spektrum/Einheitsideal und leere Nullstellenmenge/Nilpotent und ganze Nullstellenmenge/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wenn das Einheitsideal ist, so ist , da die in keinem Punkt verschwindet. Die Umkehrung davon gilt wenn algebraisch abgeschlossen ist, da dann aus der Voraussetzung (da beides die leere Menge ist) mit dem Hilbertschen Nullstellensatz sofort gilt. Bei gilt die Aussage nicht, wie das Polynom zeigt, das keine Einheit ist, dessen Nullstellenmenge aber leer ist.

Wenn nilpotent ist, so ist jedes Element davon nilpotent und damit verschwindet jedes Element davon unter jedem Ringhomomorphismus in einen Körper (da ein Körper reduziert ist). Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper gilt wieder die Umkehrung, da man die Voraussetzung für jedes schreiben kann als . Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt daraus , d.h. ist nilpotent (in einem noetherschen Ring ist dann auch das Ideal selbst nilpotent). Über einem endlichen Körper gilt die Umkehrung nicht. Bei ist das Polynom

nicht nilpotent, aber es verschwindet an beiden (allen) Punkten.