K-Spektrum/Endlich viele Punkte/Umgebungshalm ist nicht lokal/Aufgabe

Es sei $X = K - Spek (R)$ eine affine Varietät und seien $P_{1}, \dots, P_{n} \in X$ endlich viele Punkte. Es sei $F$ der Umgebungsfilter dieser Punkte und $𝒪_{F}$ der zugehörige Halm. Zeige, dass $𝒪_{F}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn $n = 1$ ist.