K-Spektrum/Integre Algebren/Dominante Morphismen/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

a) ${}\varphi$ ist injektiv.

b) Das Bild von ${}\varphi ^{*}$ ist dicht in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

c) ${}\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus ${}Q(R)\rightarrow Q(S)$.

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