K-Spektrum/Integre Algebren/Dominante Morphismen/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\phi :R\to S$ ein $K$-Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus ${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(S\right)\to K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

a) $\phi$ ist injektiv.

b) Das Bild von ${\phi }^{\ast }$ ist dicht in $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$.

c) $\phi$ induziert einen Ringhomomorphismus $Q(R)\to Q(S)$.

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