K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in U$ gibt es Ringhomomorphismen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{P}$ und ${}{\mathcal {O}}_{P}\rightarrow Q(R)$, die jeweils injektiv sind. Damit gibt es auch einen injektiven Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}.$

Es sei ${}f\in Q(R)$ ein Element im Durchschnitt rechts. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in U$ eine Darstellung ${}f=G/H$ mit ${}P\in D(H)\subseteq U$. Dies bedeutet direkt, dass ${}f$ eine algebraische Funktion auf ${}U$ ist.

Zur bewiesenen Aussage