K-Spektrum/Morphismus/Ringhomomorphismen zu offenen Mengen/Diagramm/Bemerkung

Ein Morphismus

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ einen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}),$

Insbesondere gibt es einen globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (Y,{\mathcal {O}}).$

Sind ${}U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen in ${}Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor (wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind)

${\begin{matrix}{\psi }^{-1}(U_{1})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\psi }^{-1}(U_{2})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{2}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

das wiederum zu dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{1}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})&\\\uparrow &&\uparrow &\\\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{2}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen führt.