Beweis
Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf
nur von
selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von
abhängt. Es sei
. Eine Beschreibung
-
liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf
, da man ja
sofort in
auffassen kann.
Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung
-
vor. Es sei
und
. Dann gilt für jeden Punkt
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}\varphi (Q)={\frac {{\tilde {G}}(Q)}{{\tilde {H}}(Q)}}={\frac {G(Q)/F^{r}(Q)}{H(Q)/F^{s}(Q)}}={\frac {G(Q)F^{s}(Q)}{H(Q)F^{r}(Q)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ee39f4d69a135ebb25b0e02bcbf1fe3cf65eea)
Dabei haben wir im letzten Schritt mit
erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus
, und es ist
, also ist
eine offene Umgebung von
.