K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/U subseteq D(f)/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf nur von selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von abhängt. Sei . Eine Beschreibung

liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf , da man ja sofort in auffassen kann.

Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung

vor. Es sei und . Dann gilt für jeden Punkt die Gleichheit

Dabei haben wir im letzten Schritt mit erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus , und es ist , also ist eine offene Umgebung von .