Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$ . Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$ . Nach Fakt ist der Höhenfußpunkt gleich

{}{\begin{aligned}D&=A+p_{(v+w)\mathbb {R} }(v)\\&=A+\left\langle v,{\frac {v+w}{\Vert {v+w}\Vert }}\right\rangle {\frac {v+w}{\Vert {v+w}\Vert }}\\&=A+{\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\Vert {v+w}\Vert ^{2}}}(v+w)\\&=A+{\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}(v+w).\end{aligned}}

Daher ist

{}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}