Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Ringhomomorphismus ist. Dann ist ${}\varphi (1)=1$. In ${}\mathbb {Q}$ gilt ${}1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}$, daher gilt in ${}\mathbb {Z}$

${}1=\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)+\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)\,.$

Das würde aber bedeuten, dass die Gleichung ${}2x=1$

in ${}\mathbb {Z}$ eine Lösung besitzt, was nicht der Fall ist.

Zur gelösten Aufgabe