Klausur/Durchfallquote/Aufgabe

In einem Kurs nehmen ${}n$ Personen teil. Für die Person ${}i$ ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich ${}q_{i}$. Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ${}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ist.
2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}$ ist.
3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.

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