Klausur/Durchfallquote/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum

    (der erste Index durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten

    und

    ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei das Ereignis, das aus allen Paaren besteht. Die Wahrscheinlichkeit für ist

  2. Hierfür betrachten wir den Produktraum , wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist . Es sei das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für unter der Bedingung . Diese ist
  3. Wir müssen

    zeigen, was auf

    führt. Dies ist äquivalent zu

    bzw. zu

    Nun ist aber

    als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.