Klausur/Durchfallquote/Aufgabe/Lösung

1. Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum

   ${}M={\left\{(i,x)\mid i=1,\ldots ,n,\,x=f,b\right\}}={\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\,$

   (der erste Index ${}i$ durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten

   ${}P(i,f)={\frac {q_{i}}{n}}\,$

   und

   ${}P(i,b)={\frac {1-q_{i}}{n}}\,.$

   ${}P(i,f)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person ${}i$ betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei ${}F$ das Ereignis, das aus allen Paaren ${}(i,f)$ besteht. Die Wahrscheinlichkeit für ${}F$ ist

   ${}{\begin{aligned}P(F)&=\sum _{i=1}^{n}P(i,f)\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}.\end{aligned}}$

2. Hierfür betrachten wir den Produktraum ${}{\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\times \{f,b\}$, wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist ${}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}$. Es sei ${}F_{1}$ das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und ${}F_{2}$ das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für ${}F_{2}$ unter der Bedingung ${}F_{1}$. Diese ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {P(F_{1}\cap F_{2})}{P(F_{1})}}&={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}.\end{aligned}}$

3. Wir müssen

   ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\geq \sum _{i=1}^{n}q_{i}\,$

   zeigen, was auf

   ${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}&\geq {\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}+{\frac {2}{n}}\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

   führt. Dies ist äquivalent zu

   ${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}\geq 2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\,$

   bzw. zu

   ${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\geq 0\,.$

   Nun ist aber

   ${}{\begin{aligned}\sum _{i<j}(q_{i}-q_{j})^{2}&=\sum _{i<j}(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}-2q_{i}q_{j})\\&=(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

   als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.

Zur gelösten Aufgabe