Kleines Einmaleins/Letzte Ziffer/Vektorraumdimension/Aufgabe/Lösung

Die Zeilen der Matrix seien mit ${}I-IX$ bezeichnet. Es ist

${}I+IX=III+VII=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,$

und

${}II+VIII=IV+VI=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,0,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,.$

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile

${}VII'=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\,$

und die sechste Zeile (durch $\left(1,\,1,\,1,\,1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,1\right)$ und damit) durch

${}VI'=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)\,$

ersetzen kann. Wir berechnen

${}II-2I=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10\right)\,,$

${}III-3I=\left(0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20\right)\,,$

${}IV-4I=\left(0,\,0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30\right)\,,$

${}V-5I=\left(0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30,\,-40,\,-40\right)\,$

und bezeichnen hinfort die mit ${}-{\frac {1}{10}}$ multiplizierten Vektoren mit ${}II',III',IV',V'$. Es ist

${}{\begin{aligned}VII^{\prime \prime }&:=VII'-I+V'+IV'\\&=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\\&\,-\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right)\\&\,+\left(0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4\right)\\&\,+\left(0,\,0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,3,\,3\right)\\&=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,-1,\,0,\,-1\right).\end{aligned}}$

In der Reihenfolge

$I,V',IV',III',VI',II'-VI',VII^{\prime \prime }$

sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich ${}7$.

Zur gelösten Aufgabe