Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Flächenkonvergenz und Längendivergenz/Beispiel

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KochFlake.svg

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur entsteht aus , indem man in jeder Begrenzungskante von das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei der Flächeninhalt und die Länge des Randes der -ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge konvergiert und die Folge bestimmt gegen divergiert.

Die Anzahl der Kanten von ist , da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht aus Kanten der Länge und die Gesamtlänge der Kanten von ist gleich

Wegen divergiert dies gegen .

Beim Übergang von nach kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge ist (Grundseite mal Höhe durch ). Im Schritt von nach kommen somit Dreiecke mit dem Flächeninhalt hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von gleich

Wenn wir hinten die erste und den Faktor ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu , welche konvergiert.