Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Flächenkonvergenz und Längendivergenz/Beispiel

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge ${}K_{n}$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur ${}K_{0}$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur ${}K_{n+1}$ entsteht aus ${}K_{n}$, indem man in jeder Begrenzungskante von ${}K_{n}$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt und ${}L_{n}$ die Länge des Randes der ${}n$-ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge ${}A_{n}$ konvergiert und die Folge ${}L_{n}$ bestimmt gegen ${}\infty$ divergiert.

Die Anzahl der Kanten von ${}K_{n}$ ist ${}3\cdot 4^{n}$, da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge ${}1/3$ der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei ${}r$ die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht ${}K_{n}$ aus ${}3\cdot 4^{n}$ Kanten der Länge ${}r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}$ und die Gesamtlänge der Kanten von ${}K_{n}$ ist gleich

${}L_{n}=3\cdot 4^{n}r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}=3r{\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$

Wegen ${}{\frac {4}{3}}>1$ divergiert dies gegen ${}\infty$.

Beim Übergang von ${}K_{n}$ nach ${}K_{n+1}$ kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge ${}s$ ist ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}$ (Grundseite mal Höhe durch ${}2$). Im Schritt von ${}K_{n}$ nach ${}K_{n+1}$ kommen somit ${}3\cdot 4^{n}$ Dreiecke mit dem Flächeninhalt ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{2(n+1)}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}{\left({\frac {1}{9}}\right)}^{n+1}$ hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von ${}K_{n}$ gleich

${}{\begin{aligned}&\,{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+3{\frac {1}{9}}+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots +3\cdot 4^{n-1}\left({\frac {1}{9}}\right)^{n}\right)\\&={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{1}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{3}+\cdots +{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right).\end{aligned}}$

Wenn wir hinten die erste ${}1$ und den Faktor ${}{\frac {3}{4}}$ ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu ${}{\frac {4}{9}}$, welche konvergiert.