Kommensurabilität/Q und R/Äquivalenzrelation/Textabschnitt

Die Seitenlänge und die Diagonale in einem Quadrat sind nicht kommensurabel.

Definition

Zwei Strecken ${}s$ und ${}t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke ${}g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von ${}g$ sind.

Definition

Reelle Zahlen ${}r,s\neq 0$ heißen kommensurabel, wenn ${}{\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl ist.

Somit handelt es sich um die Äquivalenzrelation zur Untergruppe

${}(\mathbb {Q} ^{\times },1,\cdot )\subseteq (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\,$

im Sinne von Definition.

Bemerkung  

Die Frage, inwiefern es über die rationalen Zahlen hinaus weitere sinnvolle Zahlen gibt, geht in die griechische Antike zurück. Die Frage wurde in der Form gestellt, ob je zwei in natürlicher Weise gegebene Strecken zueinander kommensurabel sind, ob es also eine dritte Strecke gibt, von der beide Strecken ganzzahlige Vielfache sind. Die Pythagoreer waren von der Harmonie des Universums überzeugt und das schloss ihrer Auffassung nach mit ein, dass alle Streckenverhältnisse durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können. Solche ganzzahligen Beziehungen fanden sie in der Musik (Schwingungsverhältnisse) und vermuteten sie für die Planeten und ihre Bewegungen und für die gesamte Geometrie. Es wird darüber spekuliert, ob in den pythagoreischen Kreisen die in Beispiel besprochene Überlegung, die die Irrationalität der ${}{\sqrt {2}}$ begründet (die Inkommensurabilität von Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat), bekannt war und sogar geheimgehalten wurde. Jedenfalls setzte sich später in der Antike die Erkenntnis durch, dass es irrationale Zahlen geben muss.

Die Untergruppenbeziehung

${}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)\,$

(die man auch als eine Untervektorraumbeziehung von ${}\mathbb {Q}$-Vektorräumen auffassen kann) führt ebenfalls zu einer Äquivalenzrelation auf den reellen Zahlen. Dabei sind zwei reelle Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz eine rationale Zahl ist.