Kommutative Algebra/Determinante einer quadratischen Matrix/Definition

Determinante

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist die Determinante ${}(det)$ einer Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}\in Mat_{n\times n}(R)$ definiert durch:

${}{\begin{aligned}det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$