Es sei R {\displaystyle {}R} ein kommutativer Ring und M = ( M , + , 0 ) {\displaystyle {}M=(M,+,0)} eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt M {\displaystyle {}M} einen R {\displaystyle {}R} -Modul, wenn eine Operation
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien r , s ∈ R {\displaystyle r,s\in R} und u , v ∈ M {\displaystyle u,v\in M} beliebig):
ein
kommutativer Ring
und
eine additiv geschriebene
kommutative Gruppe.
Man nennt 
einen
-Modul,
wenn eine Operation
und 
beliebig):
,
,
,
.