Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante von invertierbare Matrizen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}A^{-1}\in R^{n\times n}$ die Matrix mit der Eigenschaft, dass

${}A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n}\,$

ist. Es gilt:

${}1=\operatorname {det} (E_{n})=\operatorname {det} (A\cdot A^{-1})=\operatorname {det} (A)\cdot \operatorname {det} (A^{-1})\,.$

Somit ist ${}\operatorname {det} (A^{-1})\in R$ das Inversezu ${}\operatorname {det} (A)$.

${}\operatorname {det(A)}$ ist also eine Einheit.

Zur bewiesenen Aussage