Kommutative Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator Schnittmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $a\in {\mathrm{Ann}}_{R}M$. Es sei $i\in I$ und $x_i\in M_i$. Weil $x_i$ als Element in $M$ aufgefasst werden kann ist $a{x}_i=0$. Daher ist $a\in {\mathrm{Ann}}_R{M}_i$ für alle $i\in I$.

Es sei umgekehrt $a\in {\mathrm{Ann}}_R{M}_i$ für alle $i\in I$. Es sei $x\in M$. Weil $M=\underset{i\in I}{⨁}{M}_i$ gibt es eine Darstellung $x=\sum _{i\in J\subseteq I}{x}_i$, mit $x_i\in M_i$ und $J$ endlich. Daher ist $ax=\sum _{i\in J\subseteq I}a{x}_i=0$. Deshalb ist $a\in {\mathrm{Ann}}_{R}M$.

Zur bewiesenen Aussage