Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $a\in {\mathrm{Ann}}_{R}U$ und $b\in {\mathrm{Ann}}_{R}M/U$. Es sei $x\in M$ und $[x]$ die Restklasse von $x$ in $M/U$. Es gilt $b[x]=0$, $bx$ ist daher nach Definition der Quotientenmenge in $U$ enthalten. Damit ist aber $abx=0$. Deshalb liegt $ab$ in ${\mathrm{Ann}}_{R}M$. Daher ist insgesamt $({\mathrm{Ann}}_{R}U)\cdot ({\mathrm{Ann}}_{R}M/U)\subseteq {\mathrm{Ann}}_{R}M$, was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element $a\in {\mathrm{Ann}}_{R}M$. Das Ringelement $a$ annulliert alle Elemente in $M$, daher auch alle in $U$. Die Restklasse $[0]\in M/U$ von $0\in M$ ist auch das Nullelement in $M/U$. Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.

Zur bewiesenen Aussage