Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei und . Sei und die Restklasse von in . Es gilt , ist daher nach Definition der Quotientenmenge in enthalten. Damit ist aber . Deshalb liegt in . Daher ist insgesamt , was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element . Das Ringelement annulliert alle Elemente in , daher auch alle in . Die Restklasse von ist auch das Nullelement in . Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.