Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}U$ und ${}b\in \operatorname {Ann} _{R}M/U$. Es sei ${}x\in M$ und ${}[x]$ die Restklasse von ${}x$ in ${}M/U$. Es gilt ${}b[x]=0$, ${}bx$ ist daher nach Definition der Quotientenmenge in ${}U$ enthalten. Damit ist aber ${}abx=0$. Deshalb liegt ${}ab$ in ${}\operatorname {Ann} _{R}M$. Daher ist insgesamt ${}(\operatorname {Ann} _{R}U)\cdot (\operatorname {Ann} _{R}M/U)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M$, was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Das Ringelement ${}a$ annulliert alle Elemente in ${}M$, daher auch alle in ${}U$. Die Restklasse ${}[0]\in M/U$ von ${}0\in M$ ist auch das Nullelement in ${}M/U$. Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.

Zur bewiesenen Aussage