Kommutative Algebra/Modultheorie/Surjektiver Modulhomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ Sei ${}f\colon M\rightarrow N$ surjektiv und ${}(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$ .

Dann gibt es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}m\in M$ derart, dass ${}f(m)=n$ ist.

Es sei nun ${}m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}$ daraus ergibt sich:

{}{\begin{aligned}f(m)&=f{\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}f{\left(\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot f(x_{i})\\&=n.\end{aligned}}

${}f(x_{i})_{i\in I}$ ist also wie behauptet ein Erzeugendensystem von ${}N$ .

${}(2)\Rightarrow (1)$ Es sei ${}(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$ , ${}(f(x_{i}))_{i\in I}$ eines von ${}N$ und ${}n\in N$ .

Dann gilt ${}n=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot (f(x_{i}))$ .

Für ${}m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\in M$ ist ${}f(m)=n$ , ${}f$ ist also surjektiv.