Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien -Moduln und

ein -Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass gilt. Wir betrachten und als -Moduln und wir betrachten den -Modulhomomorphismus

Aufgrund der Injektivität von als -Modul gibt es eine -lineare Fortsetzung dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

ein -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

zu gehört. Die Gesamtzuordnung ist -linear aufgrund der -Modulstruktur von . Für gilt , so dass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.

Zur bewiesenen Aussage