Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  $A\subseteq B$  $S$-Moduln und

$\phi :A⟶{\mathrm{Hom}}_R(S,I),a⟼{\phi }_a,$

ein $S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass  ${\phi }_a(s)={\phi }_{as}(1)$  gilt. Wir betrachten $A$ und $B$ als $R$-Moduln und wir betrachten den $R$-Modulhomomorphismus

$A\stackrel{\phi }{⟶}{\mathrm{Hom}}_R(S,I)\stackrel{\theta \mapsto \theta (1)}{⟶}I.$

Aufgrund der Injektivität von $I$ als $R$-Modul gibt es eine $R$-lineare Fortsetzung $\tilde{\phi }:B\to I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

$B⟶{\mathrm{Hom}}_R(S,I),b⟼(s\mapsto \tilde{\phi }(sb)),$

ein $S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

$S\stackrel{1\mapsto b}{⟶}B\stackrel{\tilde{\phi }}{⟶}I$

zu ${\mathrm{Hom}}_R(S,I)$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist $S$-linear aufgrund der $S$-Modulstruktur von ${\mathrm{Hom}}_R(S,I)$. Für  $a\in A$  gilt  $\tilde{\phi }(sa)={\phi }_{as}(1)={\phi }_a(s)$,  sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.

Zur bewiesenen Aussage