Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition

Modulhomomorphismus

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$, $N$ zwei $R$-Moduln. Eine Abbildung $\phi :M\to N$ heißt $R$-(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

1. $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$ für alle $u,v\in M$.
2. $\phi (sv)=s\phi (v)$ für alle $s\in R$ und $v\in M$.

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn $M=N$ ist, dann heißt $\phi$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.